bara

Τρίτη, 9 Απριλίου 2013

Μηχανική επίλυση του Παραδόξου του Αριστοτέλη

Η. Αγγελάκος, Ν. Λυγερός, Ν. Χατζηγεωργίου
Το λεγόμενο παράδοξο του τροχού του Αριστοτέλη μπορεί να διατυπωθεί με σύγχρονους όρους ως εξής: δύο ομόκεντροι τροχοί, οι οποίοι είναι ισόμορφοι με κύκλους στα μαθηματικά, συνδεδεμένοι μεταξύ τους με κοινό άξονα, ο ένας μικρότερης και ο άλλος μεγαλύτερης ακτίνας όπως φαίνεται στο σχήμα, κυλούν χωρίς ολίσθηση σε παράλληλα επίπεδα. Έστω ότι ο μεγάλος τροχός έχει ακτίνα ρ1 και ο μικρότερος ακτίνα ρ2.
Παρατηρούμε ότι όταν ο μεγάλος τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση 2πρ1 ίση με την περιφέρεια του , δηλαδή το σημείο Α θα εφάπτεται ξανά με το κάτω επίπεδο, τότε και ο μικρός θα έχει διατρέξει επίσης απόσταση 2πρ1. Όμως και το σημείο Β αναγκαστικά την ίδια στιγμή θα εφάπτεται με το πάνω επίπεδο. Δηλαδή και ο μικρός τροχός θα έχει διατρέξει απόσταση ίση με την περιφέρεια του. Αυτό όμως είναι παράδοξο, αφού η περιφέρεια του μικρού τροχού είναι 2πρ2<2πρ1.
Η εξήγηση στο παράδοξο είναι απλή αλλά όχι απλοϊκή. Ο μεγάλος κύκλος είναι γνωστό ότι κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση ο μικρός όμως κάνει την ιδία κίνηση άραγε ή ολισθαίνει ταυτόχρονα; Για να γίνει πιο κατανοητή η εξήγησή μας του παραδόξου, επινοήσαμε το εξής νοητικό σχήμα της μηχανικής με τη χρήση των γραναζιών. Με αυτόν τον τρόπο είμαστε ικανοί να κάνουμε μία απόδειξη δίχως λόγια. Παιδαγωγικά όμως μπορούμε να γράψουμε το εξής. Με τα γρανάζια εξασφαλίζουμε την απουσία ολίσθησης. Αν λοιπόν, και οι 2 κύκλοι εφοδιασμένοι με γρανάζια, κυλούν μόνο θα έπρεπε το γρανάζι να κυλάει όταν ο άξονας στο κέντρο είναι σταθερός κάτι που δεν θα συμβεί. Κατά συνέπεια, είναι άτοπο.
Μπορούμε μάλιστα να επινοήσουμε και το παρακάτω νοητικό σχήμα, το οποίο είναι ισόμορφο με το πρώτο, για να φανεί ακόμα καλύτερα ότι η κίνηση είναι αδύνατη. Διότι το μικρό γρανάζι θα κυλίσει ταυτόχρονα με το μεγάλο αν και μόνο αν μετατοπιστεί ο κοινός άξονας κάτι που φανερώνει την ολίσθηση του μικρού κύκλου ενώ δεν επιτρέπεται.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου